全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 7\}$、集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 7\}$、集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ から $A = \{1, 2, 4, 7\}$ の要素を除くと、$\overline{A} = \{3, 5, 6\}$ となります。

(2) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ から $B = \{1, 3, 5, 7\}$ の要素を除くと、$\overline{B} = \{2, 4, 6\}$ となります。

(3) $\overline{A \cup B}$ を求めます。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 7\} \cup \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$ です。

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ から $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$ の要素を除くと、$\overline{A \cup B} = \{6\}$ となります。

(4) $A \cap \overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = \{2, 4, 6\}$ であり、$A = \{1, 2, 4, 7\}$ です。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 4, 7\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 6\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 4, 6\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{6\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 4\}$