はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

複数の幾何学の問題です。主に三角形に関連する問題が含まれています。問題は、線分の比、辺の長さ、角度、面積などを求めるものです。具体的には、以下の問題が含まれます。

* 線分の内分点・外分点

* 三角形の相似

* 角の二等分線

* 三角形の外心・内心

* 三角形の面積比

* 三角形の存在条件

* 三角形の角の大小

* 円周角の定理

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2. 解き方の手順**

問題によって解き方が異なります。

**問題1：線分の内分点・外分点**

これは線分の分割比の定義に基づいて点を特定する問題です。内分点の場合は、線分を比の通りに分割する点を見つけます。外分点の場合は、線分の延長線上で比の通りに分割する点を見つけます。

**問題2：三角形の相似**

$\triangle APQ \sim \triangle ABC$であることから、対応する辺の比が等しいことを利用します。つまり、$PQ/BC = AP/AB = AQ/AC$です。$AP$と$AB$、または$AQ$と$AC$の長さが分かれば、$x$の値を求めることができます。

**問題3：角の二等分線**

角の二等分線の定理を使います。内角の二等分線は、対辺を隣辺の比に分けます。外角の二等分線は、対辺の延長を隣辺の比に分けます。

$CD/BD = AC/AB$

$BE/CE = AB/AC$

これらの比を利用して、$CD$と$DE$の長さを求めます。

**問題4：三角形の外心・内心**

外心は三角形の外接円の中心であり、各頂点からの距離が等しいです。内心は三角形の内接円の中心であり、各辺からの距離が等しいです。外心は各辺の垂直二等分線の交点、内心は各角の二等分線の交点です。外心と内心の性質、および角度の関係を使って、$\alpha$と$\beta$を求めます。

**問題5：三角形の面積比**

中線は三角形の面積を二等分します。重心は中線を2:1に内分します。これらの性質を使って、$\triangle AEC$と$\triangle AGEC$の面積を$\triangle ABC$の面積$S$で表します。

**問題6：三角形の存在条件**

三角形の成立条件は、「最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和より小さい」ことです。3つの辺の長さが与えられたとき、この条件を満たすかどうかを確認します。

**問題7：三角形の角の大小**

三角形の3辺の長さから、角の大小を判断します。一般的に、長い辺に向かい合う角は大きくなります。余弦定理を使って角の大きさを比較することもできます。

**問題8：円周角の定理**

円周角の定理を使って、角度を求めます。円周角は中心角の半分であり、同じ弧に対する円周角は等しいです。

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3. 最終的な答え**

申し訳ありませんが、画像が不鮮明なため、具体的な数値を読み取ることが困難です。そのため、最終的な答えを数値で示すことができません。しかし、上記の解き方の手順に従って、それぞれの問題を解くことができるはずです。

もし具体的な数値が分かれば、最終的な答えを計算できます。