$p$ を 3 以上の素数とする。自然数 $x, y, k$ があり、$x^2 - y^2 = k$ を満たしている。 (1) $x, y$ が奇数のとき、$k$ は 8 の倍数となることを示す。 (2) $k = 4p^2$ とするとき、$x, y$ をそれぞれ $p$ を用いて表せ。また、$x \le 1000$ を満たすような $x, y$ の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。 (3) $k = 4p^2$ のとき、$x$ と $y$ の最小公倍数を求めよ。

1. 問題の内容

$p$ を 3 以上の素数とする。自然数 $x, y, k$ があり、$x^2 - y^2 = k$ を満たしている。

(1) $x, y$ が奇数のとき、$k$ は 8 の倍数となることを示す。

(2) $k = 4p^2$ とするとき、$x, y$ をそれぞれ $p$ を用いて表せ。また、$x \le 1000$ を満たすような $x, y$ の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

(3) $k = 4p^2$ のとき、$x$ と $y$ の最小公倍数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x, y$ が奇数のとき、$x = 2m+1, y = 2n+1$ (m, n は整数) と表せる。

このとき、

$x^2 - y^2 = (2m+1)^2 - (2n+1)^2 = (4m^2 + 4m + 1) - (4n^2 + 4n + 1) = 4m^2 + 4m - 4n^2 - 4n = 4(m^2 + m - n^2 - n) = 4(m(m+1) - n(n+1))$

$m(m+1)$ と $n(n+1)$ はそれぞれ偶数であるから、$m(m+1) = 2a, n(n+1) = 2b$ (a, b は整数) と表せる。

よって、

$x^2 - y^2 = 4(2a - 2b) = 8(a-b)$

したがって、$k = x^2 - y^2$ は 8 の倍数となる。

(2) $k = 4p^2$ のとき、$x^2 - y^2 = 4p^2$

$(x+y)(x-y) = 4p^2$

$x+y$ と $x-y$ の偶奇は一致し、$x+y > x-y > 0$ である。

$4p^2 = 2p \cdot 2p = 4p \cdot p = 2p^2 \cdot 2 = 4 \cdot p^2$ の可能性がある。

素数 $p$ は 3 以上の奇数なので、$4p^2$ は偶数であり、$4p^2 = (2p)^2$ であり、$4p^2$ の約数は、$1, 2, 4, p, 2p, 4p, p^2, 2p^2, 4p^2$ となる。

$(x+y, x-y) = (2p, 2p), (4p, p), (2p^2, 2), (4p^2, 1)$ の可能性がある。

しかし、$x+y$ と $x-y$ は偶奇が一致する必要があるので、

$(x+y, x-y) = (2p^2, 2)$ のみ考える。

$x+y = 2p^2, x-y = 2$

$2x = 2p^2 + 2 \Rightarrow x = p^2 + 1$

$2y = 2p^2 - 2 \Rightarrow y = p^2 - 1$

$x = p^2 + 1 \le 1000$ より、$p^2 \le 999$

$p \le \sqrt{999} \approx 31.6$

$p$ は 3 以上の素数なので、$p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$ の 10 個。

したがって、組 $(x, y)$ の個数は 10 個。

(3) $k = 4p^2$ のとき、$x = p^2 + 1, y = p^2 - 1$

$x = p^2 + 1 = (p+1)(p-1) + 2$

$y = p^2 - 1 = (p+1)(p-1)$

$p$ は素数なので、$p+1, p-1$ は偶数。

$x = p^2 + 1, y = (p-1)(p+1)$

最小公倍数 $LCM(x, y) = \frac{xy}{GCD(x, y)}$

$GCD(x, y) = GCD(p^2 + 1, (p+1)(p-1)) = GCD(p^2+1, p^2-1) = GCD(p^2+1-(p^2-1), p^2-1) = GCD(2, p^2-1) = 2$

よって、$LCM(x, y) = \frac{(p^2+1)(p^2-1)}{2} = \frac{p^4 - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k$ は 8 の倍数となる。（証明終わり）

(2) $x = p^2 + 1, y = p^2 - 1$, 組 $(x, y)$ の個数は 10 個。

(3) 最小公倍数は $\frac{p^4 - 1}{2}$