$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$より、 $(1+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2^2 - 2\sqrt{6}\cdot2\cos{A}$ $1+2\sqrt{3}+3 = 6 + 4 - 4\sqrt{6}\cos{A}$ $4+2\sqrt{3} = 10 - 4\sqrt{6}\cos{A}$ $4\sqrt{6}\cos{A} = 6-2\sqrt{3}$ $\cos{A} = \frac{6-2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $\cos{75^\circ} = \cos{(45^\circ+30^\circ)} = \cos{45^\circ}\cos{30^\circ} - \sin{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ よって、$A = 75^{\circ}$

## 数学の問題の解答

### (1) 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=1+\sqrt{3}$, $b=\sqrt{6}$, $c=2$であるとき、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。

### (1) 解き方の手順

1. 余弦定理を用いて角Aを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$より、

$(1+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2^2 - 2\sqrt{6}\cdot2\cos{A}$

$1+2\sqrt{3}+3 = 6 + 4 - 4\sqrt{6}\cos{A}$

$4+2\sqrt{3} = 10 - 4\sqrt{6}\cos{A}$

$4\sqrt{6}\cos{A} = 6-2\sqrt{3}$

$\cos{A} = \frac{6-2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos{75^\circ} = \cos{(45^\circ+30^\circ)} = \cos{45^\circ}\cos{30^\circ} - \sin{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって、$A = 75^{\circ}$

2. 余弦定理を用いて角Bを求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$より、

$(\sqrt{6})^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3})\cdot2\cos{B}$

$6 = 4+2\sqrt{3} + 4 - 4(1+\sqrt{3})\cos{B}$

$4(1+\sqrt{3})\cos{B} = 2+2\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})$

$\cos{B} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

よって、$B = 60^{\circ}$

3. 角Cを求めます。

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$

### (1) 最終的な答え

$A = 75^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$, $C = 45^{\circ}$

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### (3) 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=135^{\circ}$であるとき、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。

### (3) 解き方の手順

1. 余弦定理を用いて辺aを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$より、

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\cos{135^{\circ}}$

$a^2 = 2 + (3-2\sqrt{3}+1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$a^2 = 6-2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3}-1) = 6-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2 = 4$

$a = 2$

2. 正弦定理を用いて角Bを求めます。

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}}$より、

$\frac{2}{\sin{135^{\circ}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin{B}}$

$\sin{B} = \frac{\sqrt{2}\sin{135^{\circ}}}{2} = \frac{\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$B=30^{\circ}$

3. 角Cを求めます。

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 135^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$

### (3) 最終的な答え

$a = 2$, $B = 30^{\circ}$, $C = 15^{\circ}$

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### (4) 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}, b = 2, A = 30^\circ$ であるとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めます。

### (4) 解き方の手順

1. 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$

2. $B = 45^\circ$ のとき、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$ なので、

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3} + 1$

3. $B = 135^\circ$ のとき、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$ なので、

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3} - 1$

### (4) 最終的な答え

解1: $B = 45^\circ, C = 105^\circ, c = \sqrt{3} + 1$

解2: $B = 135^\circ, C = 15^\circ, c = \sqrt{3} - 1$

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### (2) 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=\sqrt{6}$, $b=2\sqrt{3}$, $c=3+\sqrt{3}$であるとき、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。

### (2) 解き方の手順

1. 余弦定理を用いて角$A$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{A}$

$(\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3+\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) \cos{A}$

$6 = 12 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - (12\sqrt{3} + 12) \cos{A}$

$6 = 24 + 6\sqrt{3} - (12\sqrt{3} + 12) \cos{A}$

$(12\sqrt{3} + 12) \cos{A} = 18 + 6\sqrt{3}$

$\cos{A} = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3} + 12} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 2} = \frac{(3+\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2)}{(2\sqrt{3}+2)(2\sqrt{3}-2)}$

$\cos{A} = \frac{6\sqrt{3} - 6 + 6 - 2\sqrt{3}}{12-4} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$A = 30^{\circ}$

2. 余弦定理を用いて角$B$を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{B}$

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + (3+\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{6})(3+\sqrt{3}) \cos{B}$

$12 = 6 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - (6\sqrt{6} + 6\sqrt{2}) \cos{B}$

$12 = 18 + 6\sqrt{3} - (6\sqrt{6} + 6\sqrt{2}) \cos{B}$

$(6\sqrt{6} + 6\sqrt{2}) \cos{B} = 6 + 6\sqrt{3}$

$\cos{B} = \frac{6+6\sqrt{3}}{6\sqrt{6}+6\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

$\cos{B} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{6-2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 45^{\circ}$

3. 角$C$を求めます。

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$

### (2) 最終的な答え

$A = 30^{\circ}$, $B = 45^{\circ}$, $C = 105^{\circ}$