自然数の列を、$1$個、$2$個、$4$個、・・・、$2^{n-1}$個の群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の自然数を求める。 (2) $500$が第何群の第何項かを求める。 (3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、$1$個、$2$個、$4$個、・・・、$2^{n-1}$個の群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

(2) $500$が第何群の第何項かを求める。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

第$n$群の最初の数は、第$n-1$群までの項数の合計に$1$を加えたものである。

第$k$群の項数は$2^{k-1}$であるから、第$n-1$群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の自然数は、

$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

第$n$群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^n 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

$2^8 - 1 = 255$

$2^9 - 1 = 511$

$2^{10} - 1 = 1023$

であるから、$500$は第$9$群にある。

第$8$群までの項数の合計は$2^8 - 1 = 255$であるから、$500$は第$9$群の$500 - 255 = 245$番目の項である。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

第$n$群の最初の項は$2^{n-1}$であり、第$n$群の項数は$2^{n-1}$である。

したがって、第$n$群の最後の項は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$である。

第$n$群にあるすべての自然数の和は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和であるから、

$\frac{2^{n-1}(2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の自然数: $2^{n-1}$

(2) 500は第9群の第245項

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$