数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n = 3, 4, 5, \dots$)で定義されるとき、すべての正の整数$n$に対して、不等式 $a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n = 3, 4, 5, \dots$)で定義されるとき、すべての正の整数$n$に対して、不等式 $a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$のとき

$a_1 = 1$ であり、 $(\frac{7}{4})^1 = \frac{7}{4} = 1.75$ であるから、$a_1 < (\frac{7}{4})^1$ が成り立つ。

(2) $n = 2$のとき

$a_2 = 1$ であり、 $(\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16} = 3.0625$ であるから、$a_2 < (\frac{7}{4})^2$ が成り立つ。

(3) $k \ge 3$ である整数$k$に対して、$n = k-1$と$n = k$のとき、$a_{k-1} < (\frac{7}{4})^{k-1}$と$a_k < (\frac{7}{4})^k$が成り立つと仮定する。このとき、$n = k+1$のときも成り立つことを示す。

$a_{k+1} = a_{k-1} + a_k$ （数列の定義より）

帰納法の仮定より、

$a_{k+1} < (\frac{7}{4})^{k-1} + (\frac{7}{4})^k$

$= (\frac{7}{4})^{k-1}(1 + \frac{7}{4})$

$= (\frac{7}{4})^{k-1}(\frac{11}{4})$

$a_{k+1} < (\frac{7}{4})^{k+1}$ を示すためには、$(\frac{7}{4})^{k-1}(\frac{11}{4}) < (\frac{7}{4})^{k+1}$を示せば良い。

$(\frac{7}{4})^{k-1}(\frac{11}{4}) < (\frac{7}{4})^{k+1}$

$\Leftrightarrow \frac{11}{4} < (\frac{7}{4})^2$

$\Leftrightarrow \frac{11}{4} < \frac{49}{16}$

$\Leftrightarrow 44 < 49$

これは成り立つので、$a_{k+1} < (\frac{7}{4})^{k+1}$が成り立つ。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法により、すべての正の整数$n$に対して、$a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての正の整数$n$に対して、$a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つ。