与えられた三角形ABCにおいて、指定された辺の長さと角度から、残りの辺の長さと角度を求める問題です。 (5) では $a = 2\sqrt{3}$, $B = 15^\circ$, $C = 45^\circ$ が与えられています。 (6) では $a = \sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $B = 75^\circ$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、指定された辺の長さと角度から、残りの辺の長さと角度を求める問題です。

(5) では $a = 2\sqrt{3}$, $B = 15^\circ$, $C = 45^\circ$ が与えられています。

(6) では $a = \sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $B = 75^\circ$ が与えられています。

2. 解き方の手順

(5)

まず、角Aを求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$

次に、正弦定理を用いて、辺bと辺cを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$

(6)

まず、角Cを求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$

$B=C=75^\circ$なので、三角形ABCは二等辺三角形です。$b=c$

次に、正弦定理を用いて、辺bを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 75^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot 2 = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$

$c = b = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

(5) $A = 120^\circ$, $b = \sqrt{6} - \sqrt{2}$, $c = 2\sqrt{2}$

(6) $C = 75^\circ$, $b = \sqrt{3} + 1$, $c = \sqrt{3} + 1$