正の奇数の列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。 (1) 第20群の10番目の項を求めよ。 (2) 第n群の最初の項を求めよ。 (3) 第n群にある項の総和を求めよ。 (4) 2021は第何群の何番目の項か。

## 解答

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。

(1) 第20群の10番目の項を求めよ。

(2) 第n群の最初の項を求めよ。

(3) 第n群にある項の総和を求めよ。

(4) 2021は第何群の何番目の項か。

2. 解き方の手順

(1) 第20群の10番目の項を求める。

まず、第19群までの項の数を求める。

第n群にはn個の項があるので、第19群までの項の数は

$1 + 2 + 3 + ... + 19 = \frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$となる。

したがって、第20群の10番目の項は、全体で190 + 10 = 200番目の奇数である。

n番目の奇数は $2n - 1$で表されるので、200番目の奇数は

$2 \times 200 - 1 = 400 - 1 = 399$となる。

(2) 第n群の最初の項を求める。

第(n-1)群までの項の数を求める。

第(n-1)群までの項の数は

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$となる。

したがって、第n群の最初の項は、全体で$\frac{(n-1)n}{2} + 1$番目の奇数である。

よって、第n群の最初の項は

$2 \times (\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = 2 \times (\frac{n^2 - n}{2} + 1) - 1 = n^2 - n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$となる。

(3) 第n群にある項の総和を求める。

第n群はn個の奇数からなる等差数列である。

第n群の最初の項は $n^2 - n + 1$であり、公差は2である。

したがって、第n群にある項の総和は

$S = \frac{n}{2} (2 \times (n^2 - n + 1) + (n-1) \times 2) = \frac{n}{2} (2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} \times 2n^2 = n^3$となる。

(4) 2021は第何群の何番目の項か。

2021が何番目の奇数かを求める。

$2n - 1 = 2021$より、$2n = 2022$となり、$n = 1011$となる。

したがって、2021は1011番目の奇数である。

第k群までの項の数の合計が1011を超えない最大のkを求める。

$\frac{k(k+1)}{2} \le 1011$となるkを考える。

$k(k+1) \le 2022$となるkを考える。

$k^2 < k(k+1) \le 2022$なので、$k < \sqrt{2022} \approx 44.9$となる。

k=44のとき、$\frac{44 \times 45}{2} = 22 \times 45 = 990$となる。

k=45のとき、$\frac{45 \times 46}{2} = 45 \times 23 = 1035$となる。

したがって、2021は第45群に属する。

2021は1011番目の項であり、第44群までの項の数は990なので、2021は第45群の1011 - 990 = 21番目の項である。

3. 最終的な答え

(1) 399

(2) $n^2 - n + 1$

(3) $n^3$

(4) 第45群の21番目