与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての二次式と見て整理します。

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4)$

次に、定数項 $3y^2 - y - 4$ を因数分解します。

$3y^2 - y - 4 = (3y - 4)(y + 1)$

したがって、与えられた式は

$x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1)$

これを$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$の形に因数分解できると仮定します。

$AC = -3$, $AD + BC = 2$, $BD = -4$, $A + C = 2$, $B + D = -5$

$(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a + c)xy + acy^2 + (b + d)x + (ad + bc)y + bd$

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4) = (x + ay + b)(x + cy + d)$とすると

$a + c = 2$

$ac = -3$

$ad + bc = 1$

$bd = 4$

$b + d = -5$

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4) = x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1)$

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4) = (x + ay + b)(x + cy + d)$

与式を$(x+Ay+B)(x+Cy+D)$と因数分解できるとすると

$x^2 + (A+C)xy + ACy^2 + (B+D)x + (AD+BC)y + BD = x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

$A+C = 2$

$AC = -3$

$B+D = -5$

$AD+BC = 1$

$BD = 4$

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4) = (x + ay + b)(x + cy + d)$

$ac = -3$より、$a$と$c$は$3$と$-1$

$a = 3, c = -1$とすると、$a+c = 2$を満たす

$bd = 4$より、$b$と$d$は$-1$と$-4$または$-2$と$-2$

$b+d = -5$より、$b = -1, d = -4$

$ad+bc = 3(-4) + (-1)(-1) = -12 + 1 = -11 \neq 1$

$a = -1, c = 3$とすると、$a+c = 2$を満たす

$b+d = -5$より、$b = -1, d = -4$

$ad+bc = -1(-4) + 3(-1) = 4 - 3 = 1$を満たす

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4) = (x - y - 1)(x + 3y - 4)$

3. 最終的な答え

$(x - y - 1)(x + 3y - 4)$