問題は、$a \neq 0$のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ が成り立つことを証明することです。

1. 問題の内容

問題は、$a \neq 0$のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ が成り立つことを証明することです。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$a^2 > 0$ であることに注意します。

相加平均・相乗平均の関係から、

$$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \geq \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a^2}}$$

$$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \geq \sqrt{1}$$

$$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \geq 1$$

両辺に2を掛けると、

$$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$$

したがって、$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ が成り立ちます。

また、等号が成り立つのは、$a^2 = \frac{1}{a^2}$のときです。

$a^4 = 1$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

3. 最終的な答え

$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ （$a \neq 0$）が成り立つ。