$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の三角関数に関する条件を満たす $\theta$ の値または範囲を求める。 (1) $2\sin^2 \theta - 3\cos \theta = 0$ (2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta \le \sqrt{3}$ (4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の三角関数に関する条件を満たす $\theta$ の値または範囲を求める。

(1) $2\sin^2 \theta - 3\cos \theta = 0$

(2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta \le \sqrt{3}$

(4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を用いて、式を $\cos \theta$ のみにする。

$2(1-\cos^2 \theta) - 3\cos \theta = 0$

$2 - 2\cos^2 \theta - 3\cos \theta = 0$

$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = -2$.

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$-1 \le \cos \theta \le 1$ なので、$\cos \theta = -2$ は不適。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = 60^\circ$

(2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $\theta = 45^\circ$ と $\theta = 135^\circ$.

$0^\circ \le \theta < 45^\circ$ および $135^\circ < \theta \le 180^\circ$

(3) $\tan \theta \le \sqrt{3}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは $\theta = 60^\circ$.

$\tan \theta$ は $\theta = 90^\circ$ で定義されない。

$0^\circ \le \theta \le 60^\circ$ および $90^\circ < \theta \le 180^\circ$

(4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < \cos \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$.

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ$.

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、

$30^\circ < \theta < 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ$

(2) $0^\circ \le \theta < 45^\circ$, $135^\circ < \theta \le 180^\circ$

(3) $0^\circ \le \theta \le 60^\circ$, $90^\circ < \theta \le 180^\circ$

(4) $30^\circ < \theta < 60^\circ$