問題は3つのパートに分かれています。 * パート1: 線分ABについて、3:2に内分する点P、3:2に外分する点Q、そして2:3に外分する点Rをそれぞれ記入する。 * パート2: 図に示された長さから、$PQ // BC$のとき、$x$の値を求める。 * パート3: $AB=10$, $BC=9$, $CA=5$である$\triangle ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分CDの長さを求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

* パート1: 線分ABについて、3:2に内分する点P、3:2に外分する点Q、そして2:3に外分する点Rをそれぞれ記入する。

* パート2: 図に示された長さから、$PQ // BC$のとき、$x$の値を求める。

* パート3: $AB=10$, $BC=9$, $CA=5$である$\triangle ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分CDの長さを求める。

2. 解き方の手順

*パート1*

線分ABが具体的に与えられているわけではないため、ここでは数値的な解は求められません。もし線分の長さがわかれば、以下の式で各点を計算できます。

ここでは、線分の長さを$l$とおきます。

(1) 3:2に内分する点Pの位置: $AP = \frac{3}{3+2}l = \frac{3}{5}l$

(2) 3:2に外分する点Qの位置: $AQ = \frac{3}{3-2}l = 3l$

(3) 2:3に外分する点Rの位置: $AR = \frac{2}{2-3}l = -2l$

もし図に座標が与えられている場合は、内分点・外分点の公式を用いて点の座標を計算します。

*パート2*

$\triangle APQ$と$\triangle ABC$において、$PQ // BC$なので、相似の関係が成り立ちます。したがって、

$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$

ここで、$AP = 2$, $PB = 1$なので、$AB = AP + PB = 2 + 1 = 3$。また、$PQ = 4$、$BC = x$なので、

$\frac{AP}{AB} = \frac{PQ}{BC}$

$\frac{2}{3} = \frac{4}{x}$

両辺に$3x$を掛けて

$2x = 12$

$x = 6$

*パート3*

$\triangle ABC$において、$\angle A$の二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、角の二等分線の性質より、

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

$AB = 10$, $AC = 5$, $BC = 9$なので、

$\frac{BD}{CD} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、$BD = 2CD$。

$BD + CD = BC = 9$なので、

$2CD + CD = 9$

$3CD = 9$

$CD = 3$

3. 最終的な答え

* パート2: $x = 6$

* パート3: $CD = 3$