$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 15 : 7$ が成り立つとき、$A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 15 : 7$ が成り立つとき、$A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。

したがって、$a : b : c = 13 : 15 : 7$ である。

比例定数 $k$ を用いると、$a = 13k$, $b = 15k$, $c = 7k$ と表せる。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

であるから、

$\cos A = \frac{(15k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}{2(15k)(7k)} = \frac{225k^2 + 49k^2 - 169k^2}{210k^2} = \frac{105k^2}{210k^2} = \frac{1}{2}$

よって、

$A = \arccos{\frac{1}{2}} = 60^{\circ}$

3. 最終的な答え

$A = 60^{\circ}$