$0 \le x \le \pi$ で定義された関数 $f(x) = 2\sin(x+\frac{\pi}{6}) - 4\cos x - \sqrt{6}$ について、 (1) $\sin(x+\frac{\pi}{6})$ を三角関数の加法定理を用いて展開し、$f(x)$ を $A\sin(x-\alpha) + B$ の形に変形する。そして、$f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (2) $0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) \ge 0$ となる $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ で定義された関数 $f(x) = 2\sin(x+\frac{\pi}{6}) - 4\cos x - \sqrt{6}$ について、

(1) $\sin(x+\frac{\pi}{6})$ を三角関数の加法定理を用いて展開し、$f(x)$ を $A\sin(x-\alpha) + B$ の形に変形する。そして、$f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(2) $0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) \ge 0$ となる $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sin(x+\frac{\pi}{6})$ を加法定理を用いて展開する。

$\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$

次に、$f(x)$ に代入する。

$f(x) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x) - 4\cos x - \sqrt{6} = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 4\cos x - \sqrt{6} = \sqrt{3}\sin x - 3 \cos x - \sqrt{6}$

$\sqrt{3}\sin x - 3 \cos x$ を合成する。

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{3}\sin x - 3 \cos x = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\sin x - \frac{3}{2\sqrt{3}}\cos x) = 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sqrt{3}\sin(x - \frac{\pi}{3})$

したがって、$f(x) = 2\sqrt{3}\sin(x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$ となる。

$0 \le x \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ である。

$\sin(x - \frac{\pi}{3})$ の最大値は 1 ($x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{5\pi}{6}$) であり、最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$x=0$)。

最大値: $f(x) = 2\sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ ($x = \frac{5\pi}{6}$)

最小値: $f(x) = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{6} = -3 - \sqrt{6}$ ($x=0$)

(2) $f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求める。

$2\sqrt{3}\sin(x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6} \ge 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \ge \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ の範囲で、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、

$\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \le x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{12} \le x \le \frac{13\pi}{12}$

ただし、$0 \le x \le \pi$ なので、$\frac{7\pi}{12} \le x \le \pi$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}(\sqrt{3} \sin x + \cos x)$

$f(x) = 2\sqrt{3} \sin(x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$

$x = \frac{5}{6}\pi$ のとき最大値 $2\sqrt{3} - \sqrt{6}$

$x = 0$ のとき最小値 $-3 - \sqrt{6}$

(2)

$\frac{7}{12}\pi \le x \le \pi$