与えられた三角形ABCの面積Sを求める問題です。各小問で与えられている辺の長さと角の情報が異なっています。 (1) $a=6, b=5, C=30^\circ$ (2) $b=2, c=3, A=120^\circ$ (3) $a=2\sqrt{2}, c=3, B=45^\circ$ (4) $a=3, b=5, C=150^\circ$ (5) 1辺の長さが2の正三角形ABC

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCの面積Sを求める問題です。各小問で与えられている辺の長さと角の情報が異なっています。

(1) $a=6, b=5, C=30^\circ$

(2) $b=2, c=3, A=120^\circ$

(3) $a=2\sqrt{2}, c=3, B=45^\circ$

(4) $a=3, b=5, C=150^\circ$

(5) 1辺の長さが2の正三角形ABC

2. 解き方の手順

三角形の面積を求める公式を利用します。2辺とその間の角が分かっている場合は、$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$の公式が使えます。正三角形の場合は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$を利用します。

(1) $a=6, b=5, C=30^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \times \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \times \frac{1}{2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$

(2) $b=2, c=3, A=120^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2}bc\sin{A} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) $a=2\sqrt{2}, c=3, B=45^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2}ac\sin{B} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3 \times \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \times 2}{4} = \frac{12}{4} = 3$

(4) $a=3, b=5, C=150^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin{150^\circ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$

(5) 1辺の長さが2の正三角形なので、$a=2$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{2}$

(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) $3$

(4) $\frac{15}{4}$

(5) $\sqrt{3}$