与えられた6つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\sin x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2\sin x}{x - \sin x}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2\sin x}{x - \sin x}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^3}{6}}{x - \frac{x^3}{6}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x^2}{6}}{1 - \frac{x^2}{6}} = 1$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$

(2)

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} - \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)} = \frac{1}{2}$

(3)

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120})}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} = \frac{1}{6}$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(4)

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$e^x - e^{-x} - 2\sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) - 2(x - \frac{x^3}{6}) + O(x^4) = 2x + \frac{x^3}{3} - 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^4) = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$

$x - \sin x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2\sin x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{3}}{\frac{x^3}{6}} = \frac{2/3}{1/6} = 4$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2\sin x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2\cos x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} + 2\sin x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} + 2\cos x}{\cos x} = \frac{1+1+2}{1} = 4$

(5)

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x) + \log(\frac{1}{2x} + 1)}{\log(4x) + \log(\frac{3}{4x} + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(2) + \log(x)}{\log(4) + \log(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log x ( \frac{\log 2}{\log x} + 1)}{\log x ( \frac{\log 4}{\log x} + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\log 2}{\log x} + 1}{\frac{\log 4}{\log x} + 1} = \frac{1}{1} = 1$

(6)

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 (\log x) \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/2

(3) 1/6

(4) 4

(5) 1

(6) 0