(1) $x \ge 1$ のとき、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ を証明する。 (2) $\frac{1}{2} < \int_1^2 \frac{dx}{x^2-x+1} < \log 2$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) $x \ge 1$ のとき、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ を証明する。

(2) $\frac{1}{2} < \int_1^2 \frac{dx}{x^2-x+1} < \log 2$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) $x \ge 1$ のとき、

$x^2 - x + 1 - x^2 = -x + 1 \le 0$ より $x^2 - x + 1 \le x^2$

したがって、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1}$ が成り立つ。

$x^2 - x + 1 - x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \ge 0$ より $x^2 - x + 1 \ge x$

したがって、$\frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が成り立つ。

以上より、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が証明された。

(2) (1)の結果より、$x \ge 1$ のとき、$\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ が成り立つ。

区間 $[1, 2]$ で積分すると、

$\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx \le \int_1^2 \frac{1}{x^2-x+1} dx \le \int_1^2 \frac{1}{x} dx$

$\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

$\int_1^2 \frac{1}{x} dx = \left[ \log x \right]_1^2 = \log 2 - \log 1 = \log 2$

したがって、$\frac{1}{2} \le \int_1^2 \frac{1}{x^2-x+1} dx \le \log 2$ が得られる。

次に、不等式を厳密に評価する必要がある。

$x \in [1, 2]$ において、$\frac{1}{x^2-x+1} = \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$ である。

区間 $[1, 2]$ で $\frac{1}{x^2-x+1}$ は $\frac{1}{x^2}$ および $\frac{1}{x}$ と等しくなることはない。したがって、不等式 $\frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2-x+1} < \frac{1}{x}$が成立する。したがって、積分範囲においても不等号が厳密になる。

$\frac{1}{2} < \int_1^2 \frac{1}{x^2-x+1} dx < \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^2-x+1} \le \frac{1}{x}$ は証明された。

(2) $\frac{1}{2} < \int_1^2 \frac{dx}{x^2-x+1} < \log 2$ は証明された。