2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ を平方完成します。

$y = x^2 - 2(2a-1)x + (2a-1)^2 - (2a-1)^2 + 3a^2 + 8$

$y = (x - (2a-1))^2 - (4a^2 - 4a + 1) + 3a^2 + 8$

$y = (x - (2a-1))^2 - 4a^2 + 4a - 1 + 3a^2 + 8$

$y = (x - (2a-1))^2 - a^2 + 4a + 7$

したがって、最小値 $m$ は $m = -a^2 + 4a + 7$ となります。

次に、$m$ の最大値を求めるために、$m = -a^2 + 4a + 7$ を平方完成します。

$m = -(a^2 - 4a) + 7$

$m = -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 7$

$m = -(a - 2)^2 + 11$

したがって、$m$ は $a = 2$ のとき最大値 $11$ を取ります。

3. 最終的な答え

$m$ の最大値は $11$。