図において、点Oは$\triangle ABC$の外心である。$\angle OBA = 25^\circ$, $\angle OAB = 15^\circ$であるとき、$\alpha$と$\beta$の値を求めよ。

## 問題4(1)

1. 問題の内容

図において、点Oは$\triangle ABC$の外心である。$\angle OBA = 25^\circ$, $\angle OAB = 15^\circ$であるとき、$\alpha$と$\beta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点であり、外心から各頂点までの距離は等しい。したがって、$OA=OB$である。

* $\triangle OAB$は二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA$。しかし図より$\angle OAB=15^\circ$、$\angle OBA=25^\circ$なので、これは誤りである。図が正しくないか、または与えられた角度が間違っている可能性がある。ここでは、図を信用せずに、外心の性質と三角形の内角の和が180度であることを利用する。

* $\triangle OAB$において、$OA=OB$より$\angle OBA = \angle OAB = \alpha$。 よって$\alpha = 25^\circ$

* $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (25^\circ + 25^\circ) = 130^\circ$

* 外心の性質より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$。 よって、$\angle ACB = \beta = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2}(130^\circ) = 65^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 25^\circ$

$\beta = 65^\circ$

## 問題4(2)

1. 問題の内容

図において、点Iは$\triangle ABC$の内心である。$\angle BAC = 62^\circ$, $\angle BCA = 24^\circ$であるとき、$\alpha$と$\beta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 内心は三角形の内角の二等分線の交点である。

* $\triangle ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 62^\circ - 24^\circ = 94^\circ$

* 点Iは内心なので、BIは$\angle ABC$の二等分線である。したがって、$\alpha = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} (94^\circ) = 47^\circ$

* 同様に、CIは$\angle BCA$の二等分線である。したがって、$\angle ICB = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} (24^\circ) = 12^\circ$

* $\triangle IBC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\beta = 180^\circ - \alpha - \angle ICB = 180^\circ - 47^\circ - 12^\circ = 121^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 47^\circ$

$\beta = 121^\circ$