三角形ABCにおいて、$A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$であるとき、以下の値を求めます。 (1) 面積 S (2) 辺BCの長さ (3) 頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$であるとき、以下の値を求めます。

(1) 面積 S

(2) 辺BCの長さ

(3) 頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さ

2. 解き方の手順

(1) 面積Sについて

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$ を用います。

この場合、$a = AB = 4$, $b = AC = 3$, $C = A = 60^\circ$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 辺BCの長さについて

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$ を用います。

この場合、$a = BC$, $b = AC = 3$, $c = AB = 4$, $A = 60^\circ$ なので、

$BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 9 + 16 - 24 \times \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

(3) 垂線AHの長さについて

面積Sを2通りの方法で表します。

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times AH$

(1)で求めた面積 $S = 3\sqrt{3}$ を代入すると、

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times AH$

$AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{3} \times \sqrt{13}}{13} = \frac{6\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) 面積 S = $3\sqrt{3}$

(2) 辺BCの長さ = $\sqrt{13}$

(3) 垂線AHの長さ = $\frac{6\sqrt{39}}{13}$