$AB=10$, $BC=9$, $CA=5$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし、頂点 $A$ における外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。以下の線分の長さを求めよ。 (1) $CD$ (2) $DE$

1. 問題の内容

$AB=10$, $BC=9$, $CA=5$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし、頂点 $A$ における外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。以下の線分の長さを求めよ。

(1) $CD$

(2) $DE$

2. 解き方の手順

(1) $CD$ の長さを求める。

角の二等分線の定理より、$BD:CD = AB:AC$ である。

$BD:CD = 10:5 = 2:1$

$BC = BD + CD = 9$ なので、$CD = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \times 9 = 3$

(2) $DE$ の長さを求める。

外角の二等分線の定理より、$BE:CE = AB:AC$ である。

$BE:CE = 10:5 = 2:1$

ここで、$BE = BC + CE = 9 + CE$ なので、$9 + CE:CE = 2:1$

$9 + CE = 2CE$

$CE = 9$

したがって、$DE = CE + CD = 9 + 3 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $CD = 3$

(2) $DE = 12$