次の式を展開せよ。 (1) $(a^2 - 2bc)(bc + 3a^2)$ (2) $(m^2 - 2m - 1)^2$ (3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ (4) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$

はい、承知しました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

(1) $(a^2 - 2bc)(bc + 3a^2)$

(2) $(m^2 - 2m - 1)^2$

(3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

(4) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$

2. 解き方の手順

(1) $(a^2 - 2bc)(bc + 3a^2)$ を展開します。

$a^2(bc + 3a^2) - 2bc(bc + 3a^2) = a^2bc + 3a^4 - 2b^2c^2 - 6a^2bc = 3a^4 - 5a^2bc - 2b^2c^2$

(2) $(m^2 - 2m - 1)^2$ を展開します。

$(m^2 - 2m - 1)^2 = ((m^2 - 2m) - 1)^2 = (m^2 - 2m)^2 - 2(m^2 - 2m) + 1 = m^4 - 4m^3 + 4m^2 - 2m^2 + 4m + 1 = m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$

(3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を展開します。

$(x-y)^2(x+y)^2 = ((x-y)(x+y))^2 = (x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^2+y^2)^2 = (x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2) = (x^4 + y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - 4x^4y^4 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(4) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開します。

$(a+b-c-d)(a-b-c+d) = (a + (b-c-d))(a - (b+c-d))$

ここで、$X = c+d$ とおくと、与式は

$(a+(b-X))(a-(b-X)) = a^2 - (b-X)^2 = a^2 - (b^2 - 2bX + X^2) = a^2 - b^2 + 2bX - X^2 = a^2 - b^2 + 2b(c+d) - (c+d)^2 = a^2 - b^2 + 2bc + 2bd - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd = a^2 - (b^2 + c^2 + d^2 - 2bc - 2bd + 2cd) = a^2 - (b - (c+d))^2 = a^2 - (b - c - d)^2$

$(a + (b-c-d))(a - (b-c-d)) = a^2 - (b-c-d)^2 = a^2 - (b^2 + c^2 + d^2 - 2bc + 2cd - 2bd) = a^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc - 2cd + 2bd$

$(a+(b-c-d))(a-(b-c+d))$

$(a+(b-(c+d)))(a-(b-(c-d))) = (a+(b-c-d))(a-(b-c+d)) = (a+b-c-d)(a-b-c+d)$

$X = c+d$ とすると、$(a+b-X)(a-b+X) = (a-(X-b))(a+(X-b)) = a^2-(X-b)^2 = a^2 - (X^2 - 2Xb + b^2) = a^2 - (c+d)^2 + 2(c+d)b - b^2 = a^2 - (c^2+2cd+d^2) + 2bc + 2bd - b^2 = a^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd$

3. 最終的な答え

(1) $3a^4 - 5a^2bc - 2b^2c^2$

(2) $m^4 - 4m^3 + 2m^2 + 4m + 1$

(3) $x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(4) $a^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd$