放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -2x^2$ を平行移動した放物線の方程式を考えます。頂点の座標を $(p, q)$ とすると、放物線の方程式は

$y = -2(x - p)^2 + q$

と表せます。

次に、頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるという条件から、$q = 2p + 1$ が成り立ちます。

これを代入して、放物線の方程式は

$y = -2(x - p)^2 + 2p + 1$

となります。

さらに、この放物線が点 $(1, 3)$ を通るという条件から、$x = 1$, $y = 3$ を代入すると、

$3 = -2(1 - p)^2 + 2p + 1$

という式が得られます。

これを $p$ について解きます。

$3 = -2(1 - 2p + p^2) + 2p + 1$

$3 = -2 + 4p - 2p^2 + 2p + 1$

$3 = -1 + 6p - 2p^2$

$2p^2 - 6p + 4 = 0$

$p^2 - 3p + 2 = 0$

$(p - 1)(p - 2) = 0$

したがって、$p = 1$ または $p = 2$ となります。

$p = 1$ のとき、$q = 2p + 1 = 2(1) + 1 = 3$ となり、放物線の方程式は

$y = -2(x - 1)^2 + 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 3$

$y = -2x^2 + 4x - 2 + 3$

$y = -2x^2 + 4x + 1$

となります。

$p = 2$ のとき、$q = 2p + 1 = 2(2) + 1 = 5$ となり、放物線の方程式は

$y = -2(x - 2)^2 + 5$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 5$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 5$

$y = -2x^2 + 8x - 3$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -2x^2 + 4x + 1$

または

$y = -2x^2 + 8x - 3$

です。