(1) $(2x+y)^7$ の展開式における $x^2y^5$ の係数を求める。 (2) $(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x+y)^7$ の展開式における $x^2y^5$ の係数を求める。

(2) $(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(2x+y)^7$ の展開式の一般項は、

$$\binom{7}{k} (2x)^{7-k} y^k$$

$x^2y^5$ の項を求めるので、$7-k = 2$ となる $k$ を探すと、$k=5$ となる。

したがって、$x^2y^5$ の項は、

$$\binom{7}{5} (2x)^2 y^5 = \binom{7}{5} 4x^2 y^5 = 21 \cdot 4 x^2 y^5 = 84 x^2 y^5$$

よって、$x^2y^5$ の係数は $84$ である。

(2) 二項定理より、$(3x-y)^6$ の展開式の一般項は、

$$\binom{6}{k} (3x)^{6-k} (-y)^k = \binom{6}{k} 3^{6-k} (-1)^k x^{6-k} y^k$$

$x^3y^3$ の項を求めるので、$6-k = 3$ となる $k$ を探すと、$k=3$ となる。

したがって、$x^3y^3$ の項は、

$$\binom{6}{3} (3x)^3 (-y)^3 = \binom{6}{3} 3^3 (-1)^3 x^3 y^3 = 20 \cdot 27 \cdot (-1) x^3 y^3 = -540 x^3 y^3$$

よって、$x^3y^3$ の係数は $-540$ である。

3. 最終的な答え

(1) $84$

(2) $-540$