右図において、以下の比を求めます。 (1) BP:PC (2) PO:OA

## 問題6の解説

1. 問題の内容

右図において、以下の比を求めます。

(1) BP:PC

(2) PO:OA

2. 解き方の手順

(1) BP:PCを求める。

点AからBCに引いた線は角Aの二等分線なので、角の二等分線の性質より、

$BP:PC = AB:AC$

図より、$AB = 3 + 2 = 5$、$AC = 3 + 4 = 7$なので、

$BP:PC = 5:7$

(2) PO:OAを求める。

三角形ABCにおいて、AR, BQ, CPは一点Oで交わるので、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

図より、$AR=2, RB=3, CQ=3, QA=4$なので、$\frac{2}{3} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{4}{2} = 2$

よって、$BP:PC = 2:1$

メネラウスの定理より、三角形APCにおいて、直線BOが辺AP, PC, CAとそれぞれO, P, Bで交わるので、

$\frac{AO}{OP} \times \frac{PB}{BC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$BC = BP + PC$より、$BC = 2PC + PC = 3PC$、なので$\frac{PB}{BC} = \frac{2PC}{3PC} = \frac{2}{3}$

$\frac{AO}{OP} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{4}{2} = 2$

よって、$AO:OP = 2:1$、したがって、$PO:OA = 1:2$

3. 最終的な答え

(1) BP:PC = 5:7

(2) PO:OA = 1:2