(1) $n$ は整数、$a, b$ は実数である。次の命題を証明する問題です。 (1) $n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。 (2) $2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である。

1. 問題の内容

(1) $n$ は整数、$a, b$ は実数である。次の命題を証明する問題です。

(1) $n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

(2) $2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。元の命題が真であれば、対偶も真である。

元の命題は「$n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。」

この対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2 + 1$ は偶数である。」

$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表せる。

このとき、

$n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)$

$2k^2 + 2k + 1$ は整数なので、$n^2 + 1$ は偶数である。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^2 + 1$ は偶数である。

対偶が真なので、元の命題も真である。

(2) 背理法で証明する。

$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である。

この命題を否定すると、「$2a + 3b > 0$ であり、$a \le 0$ かつ $b \le 0$ である。」となる。

$a \le 0$ かつ $b \le 0$ であるとき、$2a \le 0$ かつ $3b \le 0$ である。

したがって、$2a + 3b \le 0$ となる。

これは、$2a + 3b > 0$ であるという仮定に矛盾する。

よって、背理法により、$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n$ が奇数ならば、$n^2 + 1$ は偶数であることを証明することで、$n^2 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数であることを証明した。

(2) $2a + 3b > 0$ かつ $a \le 0$ かつ $b \le 0$ であると仮定すると、矛盾が生じるため、$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である。