2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めよ。 (2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求めよ。 (3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めよ。

(2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求めよ。

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha\beta = 7$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(7) = 9 - 14 = -5$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求める。

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = (-5)^2 - 2(7)^2 = 25 - 2(49) = 25 - 98 = -73$

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ を求める。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - 3x + 7 = 0$ の解なので、$\alpha^2 - 3\alpha + 7 = 0$ と $\beta^2 - 3\beta + 7 = 0$ が成り立つ。

したがって、$\alpha^2 = 3\alpha - 7$ と $\beta^2 = 3\beta - 7$ である。

よって、

$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7) = (3\alpha - 7 + 3\alpha + 7)(3\beta - 7 - 3\beta + 7)$

$= (6\alpha)(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -5$

(2) $\alpha^4 + \beta^4 = -73$

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7) = 0$