問題は、実数 $x$ に関する条件 $s, t, u$ が与えられたとき、命題の真偽や、必要十分条件を満たす $m, n, k$ の値を求める問題です。また、二次不等式に関する命題の真偽、否定、およびパラメータを含む二次不等式が常に成り立つためのパラメータの範囲を求める問題も含まれています。

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ に関する条件 $s, t, u$ が与えられたとき、命題の真偽や、必要十分条件を満たす $m, n, k$ の値を求める問題です。また、二次不等式に関する命題の真偽、否定、およびパラメータを含む二次不等式が常に成り立つためのパラメータの範囲を求める問題も含まれています。

2. 解き方の手順

(1)

* $s: -4 \le x \le 6$

* $t: x^2 \ge k$

* $u: |x - m| \le n$

命題「$s \implies t$」が真であるための $k$ の条件を求めます。$s$ を満たす全ての $x$ について $t$ が成り立つ必要があります。$x^2$ の最小値を考えると、$-4 \le x \le 6$ の範囲で、$x^2$ は $x=0$ のとき最小値 $0$ をとります。したがって、$k \le 0$ となります。$k$ は自然数なので、この不等式を満たす自然数 $k$ は存在しません。

しかし、問題文は $k$ が自然数と明記されているため、問題文に誤りがある可能性があります。

問題文の意図通りに解釈すると、$s \implies t$が真となるためには、$s$の範囲の$x$に対して、$x^2 \ge k$が成り立つ必要があります。したがって、$-4 \le x \le 6$ の範囲で、$x^2$ の最小値は $0$ なので、$k \le 0$ である必要があります。しかし、$k$ は自然数なので、$k$ は存在しません。

もし、問題文が正しく、$k$ が 0 以上の整数であるならば、$k \le 0$ なので、$k=0$ となります。

$s$ が $u$ であるための必要十分条件となるのは、$-4 \le x \le 6$ と $|x-m| \le n$ が同値であるときです。

$|x - m| \le n$ は $-n \le x - m \le n$ と同値であり、$m - n \le x \le m + n$ となります。

これが $-4 \le x \le 6$ と同値であるためには、

$m - n = -4$

$m + n = 6$

となる必要があります。これらの連立方程式を解くと、

$2m = 2$

$m = 1$

$n = 5$

となります。

(2)

(1) 命題 (A) 「ある実数 $x$ について $x^2 - 3x + 2 < 0$」 の真偽を判定します。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ なので、$x^2 - 3x + 2 < 0$ は $1 < x < 2$ と同値です。

したがって、この範囲に実数 $x$ が存在するため、命題 (A) は真です。

命題 (A) の否定は「すべての実数 $x$ について $x^2 - 3x + 2 \ge 0$」 です。

(2) 命題 (B) 「すべての実数 $x$ について $x^2 + ax + 4 > 0$」 が真となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

$x^2 + ax + 4 > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、二次方程式 $x^2 + ax + 4 = 0$ が実数解を持たない必要があります。

これは判別式 $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$ が $D < 0$ を満たすことと同値です。

$a^2 - 16 < 0$ より $(a - 4)(a + 4) < 0$ なので、$-4 < a < 4$ となります。

$a = -4 - 1 = -5$ のとき、命題 (B) に対する反例となる $x$ の値を求めます。

命題 (B) は「すべての実数 $x$ について $x^2 - 5x + 4 > 0$」 となります。この否定は「ある実数 $x$ について $x^2 - 5x + 4 \le 0$」 です。

$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \le 0$ を解くと、$1 \le x \le 4$ となります。

反例となる $x$ の値として、$x = 1$ または $x = 4$ が挙げられます。

3. 最終的な答え

* アイ: 0

* ウ: 1

* エ: 5

* オ: 真

* カ: すべての実数xについて $x^2-3x+2 \ge 0$

* キク: -4

* ケ: 4

* コ: 1

* サ: 4