二次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^4 + \beta^4$の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^4 + \beta^4$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 7$

である。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2 \cdot 7 = 9 - 14 = -5$

次に、$\alpha^4 + \beta^4$を求める。

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = (-5)^2 - 2 \cdot 7^2 = 25 - 2 \cdot 49 = 25 - 98 = -73$

3. 最終的な答え

$\alpha^4 + \beta^4 = -73$