2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^4 + \beta^4$ (3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。

$x^2 - 3x + 7 = 0$ に対して、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha\beta = 7$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ であるから

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

これに $\alpha + \beta = 3$ および $\alpha\beta = 7$ を代入すると

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(7) = 9 - 14 = -5$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求める。

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2)^2 + (\beta^2)^2$ であるから

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$

これに $\alpha^2 + \beta^2 = -5$ および $\alpha\beta = 7$ を代入すると

$\alpha^4 + \beta^4 = (-5)^2 - 2(7)^2 = 25 - 2(49) = 25 - 98 = -73$

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ を求める。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - 3x + 7 = 0$ の解であるから

$\alpha^2 - 3\alpha + 7 = 0$

$\beta^2 - 3\beta + 7 = 0$

したがって

$\alpha^2 + 3\alpha + 7 = (\alpha^2 - 3\alpha + 7) + 6\alpha = 0 + 6\alpha = 6\alpha$

$\beta^2 - 3\beta + 7 = 0$

よって

$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7) = (6\alpha) \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -5$

(2) $\alpha^4 + \beta^4 = -73$

(3) $(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7) = 0$