箱の中に2, 4, 16と書かれた玉がそれぞれ1つずつ入っている。この箱から玉を1つ取り出し、箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉に書かれた数を3辺の長さとする三角形を作る。 (2) 取り出した3つの玉の値の組み合わせは何通りか。 (3) 三角形が成立する確率を求めよ。 (4) 三角形が成立したとき、その三角形の面積が16より小さい確率を求めよ。

1. 問題の内容

箱の中に2, 4, 16と書かれた玉がそれぞれ1つずつ入っている。この箱から玉を1つ取り出し、箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉に書かれた数を3辺の長さとする三角形を作る。

(2) 取り出した3つの玉の値の組み合わせは何通りか。

(3) 三角形が成立する確率を求めよ。

(4) 三角形が成立したとき、その三角形の面積が16より小さい確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) 組み合わせの総数を求める。

玉は3種類(2, 4, 16)あり、それぞれを取り出す確率は等しく、3回繰り返すので、取り出し方の総数は $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

(3) 三角形が成立する条件（三角不等式）を考える。

三角形が成立するためには、最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和よりも短くなければならない。

すべての組み合わせを列挙し、三角形が成立するものを数える。

(2, 2, 2), (2, 2, 4), (2, 2, 16), (2, 4, 2), (2, 4, 4), (2, 4, 16), (2, 16, 2), (2, 16, 4), (2, 16, 16),

(4, 2, 2), (4, 2, 4), (4, 2, 16), (4, 4, 2), (4, 4, 4), (4, 4, 16), (4, 16, 2), (4, 16, 4), (4, 16, 16),

(16, 2, 2), (16, 2, 4), (16, 2, 16), (16, 4, 2), (16, 4, 4), (16, 4, 16), (16, 16, 2), (16, 16, 4), (16, 16, 16)

三角形が成立する組み合わせは、(2, 2, 2), (2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (4, 4, 4) の5通り。

したがって、三角形が成立する確率は $\frac{5}{27}$。

(4) 三角形が成立する場合の面積を求める。

(2, 2, 2)の場合：正三角形。一辺が2なので、面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} < 16$

(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2)の場合：二等辺三角形。底辺を2とすると高さは$\sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$なので、面積は$\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{15} = \sqrt{15} < 16$。底辺を4とすると高さは$\sqrt{2^2 - 2^2} = 0$なので、三角形にならない。

(4, 4, 4)の場合：正三角形。一辺が4なので、面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3} < 16$

三角形が成立する5つの場合すべてで面積が16より小さいため、確率は $\frac{5}{5} = 1$。

3. 最終的な答え

(2) 27通り

(3) $\frac{5}{27}$

(4) 1