問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ とおきます。

すると、$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a-b+b-c+c-a = 0$ となります。

もし $x+y+z = 0$ ならば、$x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ が成り立ちます。

（証明：$x+y = -z$ より、$(x+y)^3 = (-z)^3$, つまり $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 = -z^3$。これを変形して $x^3+y^3+z^3 = -3x^2y-3xy^2 = -3xy(x+y) = -3xy(-z) = 3xyz$）

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$