(1) 数列 $\frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \frac{1}{4\cdot5\cdot6}, \dots$ の一般項と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=3}^6 \frac{1}{k(k-2)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \frac{1}{4\cdot5\cdot6}, \dots$ の一般項と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=3}^6 \frac{1}{k(k-2)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

数列の一般項は、第 $n$ 項が $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ と表せる。

したがって、

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$ と部分分数分解する。

両辺に $n(n+1)(n+2)$ をかけると、

$1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)$.

$n = 0$ のとき、 $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$.

$n = -1$ のとき、 $1 = -B$ より $B = -1$.

$n = -2$ のとき、 $1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$.

よって、

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) - \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$.

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left[ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{n+2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} + \frac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{(n+1)(n+2)-2}{2(n+1)(n+2)} \right]$

$= \frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.

(2)

$\frac{1}{k(k-2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k-2}$ と部分分数分解する。

$1 = A(k-2) + Bk$.

$k = 0$ のとき、 $1 = -2A$ より $A = -\frac{1}{2}$.

$k = 2$ のとき、 $1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$.

よって、

$\frac{1}{k(k-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k-2} - \frac{1}{k} \right)$.

$\sum_{k=3}^6 \frac{1}{k(k-2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=3}^6 \left( \frac{1}{k-2} - \frac{1}{k} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} - \frac{11}{30} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{45-11}{30} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{34}{30} \right] = \frac{17}{30}$.

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$、和 $S_n$: $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $\sum_{k=3}^6 \frac{1}{k(k-2)} = \frac{17}{30}$