与えられた3つの四角形ABCDの面積をそれぞれ求める問題です。各四角形は、辺の長さや角度の情報が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた3つの四角形ABCDの面積をそれぞれ求める問題です。各四角形は、辺の長さや角度の情報が与えられています。

2. 解き方の手順

**(1) 四角形ABCD (1)の面積**

四角形ABCDは、三角形ABCと三角形ACDに分割できます。

* **三角形ABCの面積**:

辺AB = 3, 辺BC = 4, 角ABC = 30°なので、面積は

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 3$

* **三角形ACDの面積**:

辺ACの長さを余弦定理を用いて求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(30^\circ) = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 + 16 - 12\sqrt{3} = 25 - 12\sqrt{3}$

$AC = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$

辺ACと辺CDと$\angle ACB + \angle ACD = 60^\circ$から三角形ACDの面積を求める。

$\angle ACB$は余弦定理より$\cos \angle ACB = \frac{4^2 + (25 - 12\sqrt{3}) - 3^2}{2 \times 4 \times \sqrt{25-12\sqrt{3}}} = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{8\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}} = \frac{8-3\sqrt{3}}{2\sqrt{25-12\sqrt{3}}}$

$\angle CAD$と$\angle ADC$が不明のため、面積は求められない。

別解として、四角形ABCDは、三角形ADCと三角形ABCに分割できます。

* **三角形ADCの面積**:

辺AC = 5, 辺CD = 4, 角ACD = 60°なので、面積は

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times CD \times \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

* **三角形ABCの面積**:

辺ACの長さを余弦定理を用いて求める。

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(60^\circ) = 5^2 + 4^2 - 2 \times 5 \times 4 \times \frac{1}{2} = 25 + 16 - 20 = 21$

$AB = \sqrt{21}$

余弦定理を用いて$\angle BAC$を求める。

$4^2 = 5^2 + 21 - 2 \times 5 \times \sqrt{21} \times \cos(\angle BAC)$

$16 = 25 + 21 - 10\sqrt{21} \cos(\angle BAC)$

$10\sqrt{21} \cos(\angle BAC) = 30$

$\cos(\angle BAC) = \frac{30}{10\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}}$

よって面積は求めることができない。

**(2) 四角形ABCD (2)の面積**

四角形ABCDは、三角形ABDと三角形BCDに分割できます。

* **三角形ABDの面積**:

辺AB = 5, 辺BD = 6, 角ABD = 30°なので、面積は

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times BD \times \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

* **三角形BCDの面積**:

辺BD = 6, 辺CD = 4, 角BDC = 60°なので、面積は

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BD \times CD \times \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

したがって、四角形ABCDの面積は

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{15}{2} + 6\sqrt{3}$

**(3) 四角形ABCD (3)の面積**

四角形ABCDは、三角形ABDと三角形BCDに分割できます。

* **三角形ABDの面積**:

辺AB = 7, 辺BD = 15, 角ABD = 60°なので、面積は

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times BD \times \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \times 7 \times 15 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 7 \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$

* **三角形BCDの面積**:

辺BDとBCの長さが15と与えられているため、二等辺三角形である。

辺BD = 15, 辺CD = 14, 角BCDは不明。

余弦定理を用いてBCの長さを求めることはできない。

四角形ABCDは、三角形ABCと三角形ADCに分割できます。

* **三角形ABCの面積**:

辺AB = 7, 辺BC = 15, 角ABC = 60°なので、面積は

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \times 7 \times 15 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 7 \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$

* **三角形ADCの面積**:

辺ACの長さを余弦定理を用いて求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(60^\circ) = 7^2 + 15^2 - 2 \times 7 \times 15 \times \frac{1}{2} = 49 + 225 - 105 = 169$

$AC = 13$

3辺の長さがわかったので、ヘロンの公式を用いて面積を求める。

$s = \frac{AC + CD + DA}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$S_{ADC} = \sqrt{s(s-AC)(s-CD)(s-DA)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{3 \times 7 \times 2^3 \times 7 \times 2 \times 3} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$

したがって、四角形ABCDの面積は

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{105\sqrt{3}}{4} + 84$

3. 最終的な答え

(1) 計算不能

(2) $\frac{15}{2} + 6\sqrt{3}$

(3) $\frac{105\sqrt{3}}{4} + 84$