与えられた三角形ABCについて、内接円の半径を求めます。 (1) 3辺の長さ $a=13$, $b=12$, $c=5$が与えられた場合 (2) 2辺の長さ $a=7$, $b=8$とその間の角 $C=120^\circ$が与えられた場合

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCについて、内接円の半径を求めます。

(1) 3辺の長さ $a=13$, $b=12$, $c=5$が与えられた場合

(2) 2辺の長さ $a=7$, $b=8$とその間の角 $C=120^\circ$が与えられた場合

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形の面積$S$をヘロンの公式を用いて求めます。$s=(a+b+c)/2$とすると、

$s = (13+12+5)/2 = 15$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-13)(15-12)(15-5)} = \sqrt{15\cdot 2\cdot 3\cdot 10} = \sqrt{900} = 30$

また、$a=13, b=12, c=5$より、$13^2 = 169$, $12^2+5^2 = 144+25 = 169$であるから、$a^2=b^2+c^2$が成立するので、この三角形は直角三角形であり、面積は

$S = \frac{1}{2}bc = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$

三角形の内接円の半径を$r$とすると、三角形の面積は$S = rs$で表されるので、

$r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2$

(2)

三角形の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$で与えられます。

$S = \frac{1}{2}(7)(8)\sin 120^\circ = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$

余弦定理より、$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C = 7^2+8^2-2(7)(8)\cos 120^\circ = 49+64-112(-\frac{1}{2}) = 113+56 = 169$

よって、$c = \sqrt{169} = 13$

$s = (a+b+c)/2 = (7+8+13)/2 = 14$

三角形の内接円の半径を$r$とすると、三角形の面積は$S = rs$で表されるので、

$r = \frac{S}{s} = \frac{14\sqrt{3}}{14} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\sqrt{3}$