円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さが$AB=2, BC=4, CD=3, DA=2$である。 (1) 対角線ACの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さが$AB=2, BC=4, CD=3, DA=2$である。

(1) 対角線ACの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180度である。

$\angle ABC = \theta$とおくと、$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$となる。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 4 + 16 - 16 \cos \theta = 20 - 16 \cos \theta$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^{\circ} - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos (180^{\circ} - \theta) = 4 + 9 - 12 \cos (180^{\circ} - \theta)$

ここで、$\cos (180^{\circ} - \theta) = - \cos \theta$であるから

$AC^2 = 13 + 12 \cos \theta$

よって、以下の2つの式が得られる。

$AC^2 = 20 - 16 \cos \theta$

$AC^2 = 13 + 12 \cos \theta$

これらより、

$20 - 16 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

$7 = 28 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

$AC^2 = 13 + 12 \cos \theta = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 13 + 3 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積Sは、$\triangle ABC$の面積と$\triangle ADC$の面積の和である。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin (180^{\circ} - \theta)$

$\sin (180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$であるから

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin \theta = 4 \sin \theta + 3 \sin \theta = 7 \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = 7 \sin \theta = 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{7 \sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ: $4$

(2) 四角形ABCDの面積S: $\frac{7 \sqrt{15}}{4}$