数列 $Q_n$ が与えられており、以下の式で定義されます。 $Q_n = \frac{\frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n - 2}{1 - \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n} = \frac{5 \cdot 3^n - 2^{n+3}}{2^{n+2} - 5 \cdot 3^n}$ この式を簡略化し、$Q_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $Q_n$ が与えられており、以下の式で定義されます。

$Q_n = \frac{\frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n - 2}{1 - \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n} = \frac{5 \cdot 3^n - 2^{n+3}}{2^{n+2} - 5 \cdot 3^n}$

この式を簡略化し、$Q_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母と分子にそれぞれ4をかけます。

$Q_n = \frac{5(\frac{3}{2})^n - 8}{4 - 5(\frac{3}{2})^n}$

次に、右辺の分母と分子にそれぞれ $\frac{1}{2^n}$ をかけます。

$Q_n = \frac{\frac{5 \cdot 3^n}{2^n} - \frac{2^{n+3}}{2^n}}{\frac{2^{n+2}}{2^n} - \frac{5 \cdot 3^n}{2^n}} = \frac{5(\frac{3}{2})^n - 2^3}{2^2 - 5(\frac{3}{2})^n} = \frac{5(\frac{3}{2})^n - 8}{4 - 5(\frac{3}{2})^n}$

よって、左辺と右辺は等しいことが確認できました。

ここで、与えられた式を変形します。

$Q_n = \frac{5 \cdot 3^n - 2^{n+3}}{2^{n+2} - 5 \cdot 3^n}$

分母と分子に -1 をかけます。

$Q_n = \frac{-(5 \cdot 3^n - 2^{n+3})}{-(2^{n+2} - 5 \cdot 3^n)} = \frac{2^{n+3} - 5 \cdot 3^n}{5 \cdot 3^n - 2^{n+2}}$

3. 最終的な答え

$Q_n = \frac{5 \cdot (\frac{3}{2})^n - 8}{4 - 5 \cdot (\frac{3}{2})^n} = \frac{2^{n+3} - 5 \cdot 3^n}{5 \cdot 3^n - 2^{n+2}}$