$n$ を正の整数とし、$a_n = \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$ とします。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めなさい。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とし、$a_n = \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$ とします。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和の定義を使って定積分に変換して計算できます。$a_n$ の式を書き換えると、

$$a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right)$$

となります。ここで、$\frac{k}{n} = x_k$ とおくと、$\frac{1}{n} = \Delta x$ となります。

$n \to \infty$ のとき、$\Delta x \to 0$ となるので、リーマン和は定積分に収束します。

区間 $[0, 1]$ における $\sin(\pi x)$ の定積分を計算します。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \int_0^1 \sin(\pi x) dx$$

積分を計算します。

$$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi) - \left( -\frac{1}{\pi} \cos(0) \right) = -\frac{1}{\pi} (-1) + \frac{1}{\pi} (1) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\pi}$