集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 4\}$であることから、集合 $A$ と $B$ はともに $3$ と $4$ を要素として含む。

まず、集合 $A$ に注目すると、$1, 3, 6$ は定数なので、$-a^2 + 5a$ が $4$ になる場合を考える。

$-a^2 + 5a = 4$

$a^2 - 5a + 4 = 0$

$(a-1)(a-4) = 0$

$a = 1$ または $a = 4$

次に、集合 $B$ に注目する。$2, 4, 8$ は定数なので、$2a+1$ または $-a+7$ が $3$ になる場合を考える。

$2a+1 = 3$ のとき、$2a = 2$ より $a = 1$

$-a+7 = 3$ のとき、$-a = -4$ より $a = 4$

したがって、$A \cap B = \{3, 4\}$ となるのは、$a = 1$ または $a = 4$ の場合である。

(i) $a = 1$ のとき

$A = \{1, 3, 6, -1^2 + 5(1)\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(1)+1, -1+7\} = \{2, 4, 8, 3, 6\}$

$A \cap B = \{3, 4, 6\}$ となり、条件 $A \cap B = \{3, 4\}$ を満たさない。

(ii) $a = 4$ のとき

$A = \{1, 3, 6, -4^2 + 5(4)\} = \{1, 3, 6, -16 + 20\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(4)+1, -4+7\} = \{2, 4, 8, 9, 3\}$

$A \cap B = \{3, 4\}$ となり、条件を満たす。

よって、$a = 4$ である。

このとき、$A = \{1, 3, 4, 6\}$、$B = \{2, 3, 4, 8, 9\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

したがって、$A \cup B$ の要素の個数は $7$ である。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A \cup B$ の要素の個数は $7$