複素数平面上の2点 $\alpha = x_1 + iy_1$ と $\beta = x_2 + iy_2$ を結ぶ線分を、$m:n$ に内分する点 $z$ を求め、その公式が $z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$ となることの説明を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点 $\alpha = x_1 + iy_1$ と $\beta = x_2 + iy_2$ を結ぶ線分を、$m:n$ に内分する点 $z$ を求め、その公式が $z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$ となることの説明を求める。

2. 解き方の手順

複素数平面上の2点 $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ線分を $m:n$ に内分する点を $z$ とします。

位置ベクトルと同様に考えると、$z$ は $\alpha$ と $\beta$ の線形結合で表されます。

まず、$\alpha$ から $\beta$ へ向かうベクトルを考えます。それは $\beta - \alpha$ です。

このベクトルを $\frac{m}{m+n}$ 倍したものを考えます。

$\frac{m}{m+n} (\beta - \alpha)$

次に、$\alpha$ からこのベクトル分だけ進んだ点が $z$ になります。

$z = \alpha + \frac{m}{m+n} (\beta - \alpha)$

これを整理します。

$z = \alpha + \frac{m\beta - m\alpha}{m+n}$

$z = \frac{(m+n)\alpha + m\beta - m\alpha}{m+n}$

$z = \frac{m\alpha + n\alpha + m\beta - m\alpha}{m+n}$

$z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$

3. 最終的な答え

$z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$