与えられた2つの多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p + 6$ に関して、以下の問いに答える問題です。 (1) $P(1)$ を $p$ と $q$ を用いて表す。 (2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求め、さらに $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるときの $q$ を $p$ で表す。 (3) $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$P(x) - Q(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p + 6$ に関して、以下の問いに答える問題です。

(1) $P(1)$ を $p$ と $q$ を用いて表す。

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求め、さらに $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるときの $q$ を $p$ で表す。

(3) $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$P(x) - Q(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 - (2p+1)(1)^2 + 3(p+2)(1) + q = 1 - 2p - 1 + 3p + 6 + q = p + q + 6$

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割ります。

$P(x) = (x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q)$ を $Q(x) = (x^2 - 2px + p + 6)$ で割ると、商は $x+ (p-1)$ となり、余りは $(p^2-7p+6)x - (p^2-p-6-q)$ となります。

$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、余りは $0$ であるので、

$p^2 - 7p + 6 = 0$ かつ $p^2 - p - 6 - q = 0$ が成り立ちます。

$p^2 - 7p + 6 = (p-1)(p-6) = 0$ より、$p=1$ または $p=6$ です。

$p=1$ のとき、$1 - 1 - 6 - q = 0$ より $q = -6$ です。

$p=6$ のとき、$36 - 6 - 6 - q = 0$ より $q = 24$ です。

このとき、$q = p^2-p-6$ です。

(3) $P(x) - Q(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q - (x^2 - 2px + p + 6) = x^3 - (2p+2)x^2 + (5p+6)x + q - p - 6$

$q = p^2 - p - 6$ より、

$P(x) - Q(x) = x^3 - (2p+2)x^2 + (5p+6)x + p^2 - 2p - 12$ となります。

$P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるので、$P(x) = Q(x)(x+p-1)$ です。

よって、$P(x) - Q(x) = Q(x)(x+p-1) - Q(x) = Q(x)(x+p-2) = (x^2-2px+p+6)(x+p-2)$

$P(x) - Q(x) = 0$ の解がすべて実数なので、$x^2 - 2px + p + 6 = 0$ および $x+p-2 = 0$ の解はすべて実数です。

$x+p-2 = 0$ より $x = 2-p$ は実数解です。

$x^2 - 2px + p + 6 = 0$ の判別式 $D/4 = p^2 - (p+6) = p^2 - p - 6 = (p-3)(p+2) \geq 0$

よって、$p \leq -2$ または $p \geq 3$ です。

$\alpha = 2-p$, $\beta$, $\gamma$ が $x^2 - 2px + p+6 = 0$ の解なので、解と係数の関係から $\beta + \gamma = 2p$、$\beta\gamma = p+6$ です。

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2-p)^2 + (\beta+\gamma)^2 - 2\beta\gamma = (2-p)^2 + (2p)^2 - 2(p+6) = 4 - 4p + p^2 + 4p^2 - 2p - 12 = 5p^2 - 6p - 8$

$f(p) = 5p^2 - 6p - 8 = 5(p - \frac{3}{5})^2 - 8 - \frac{9}{5} = 5(p - \frac{3}{5})^2 - \frac{49}{5}$

$p \leq -2$ または $p \geq 3$ より、

$p=3$ のとき、$f(3) = 5(3)^2 - 6(3) - 8 = 45 - 18 - 8 = 19$

$p=-2$ のとき、$f(-2) = 5(-2)^2 - 6(-2) - 8 = 20 + 12 - 8 = 24$

したがって、最小値は19です。

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = p + q + 6$

(2) 商: $x + p - 1$, $q = p^2 - p - 6$

(3) $P(x)-Q(x) = (x^2-2px+p+6)(x+p-2)$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値: 19