$\cos(\sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9})$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos(\sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9})$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\alpha = \sin^{-1}\frac{1}{3}$, $\beta = \sin^{-1}\frac{7}{9}$ とおきます。

すると、$\sin\alpha = \frac{1}{3}$, $\sin\beta = \frac{7}{9}$ となります。

$\cos\alpha$と$\cos\beta$を計算します。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{32}{81}$

$\cos\beta = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos(\alpha + \beta)$ を計算します。$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ を用います。

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{9} - \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{9} = \frac{16}{27} - \frac{7}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$