与えられた関数の、指定された点における4次近似式を求める問題です。結果は等式で表現します。

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された点における4次近似式を求める問題です。結果は等式で表現します。

2. 解き方の手順

関数の4次近似式は、テイラー展開を用いて求めます。関数を$f(x)$、近似する点を$a$とすると、4次近似式は以下のようになります。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f''''(a)}{4!}(x-a)^4$

ここで、$f'(x), f''(x), f'''(x), f''''(x)$ はそれぞれ$f(x)$の1階、2階、3階、4階の導関数を表します。

問題文だけでは関数$f(x)$と点$a$が具体的に指定されていないため、一般的な解法を記述しました。

もし関数が$f(x) = e^x$ で、$a = 0$ の点の周りの4次近似式を求めるのであれば、以下のように計算を進めます。

まず、導関数を計算します。

$f(x) = e^x$

$f'(x) = e^x$

$f''(x) = e^x$

$f'''(x) = e^x$

$f''''(x) = e^x$

次に、$x=0$ におけるこれらの導関数の値を計算します。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = e^0 = 1$

$f''(0) = e^0 = 1$

$f'''(0) = e^0 = 1$

$f''''(0) = e^0 = 1$

最後に、テイラー展開の式にこれらの値を代入します。

$e^x \approx 1 + 1\cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4$

$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$

3. 最終的な答え

問題文に具体的な関数と点が指定されていないため、一般論と、もし関数が$e^x$ で $a = 0$の場合の例を記述しました。

もし具体的な関数と点が与えられれば、上記の解き方の手順に従って計算することで4次近似式を求めることができます。

例：$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$