問題は、以下の2つの命題について、「ウ」と「エ」に当てはまるものを0～3の中から選択するものです。 (1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための「ウ」。 (2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための「エ」。 選択肢は以下の通りです。 0. 必要十分条件である 1. 必要条件であるが、十分条件ではない

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの命題について、「ウ」と「エ」に当てはまるものを0～3の中から選択するものです。

(1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための「ウ」。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための「エ」。

選択肢は以下の通りです。

0. 必要十分条件である

1. 必要条件であるが、十分条件ではない

2. 十分条件であるが、必要条件ではない

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための「ウ」について考えます。

* $x=y \implies x^2=y^2$ は真です。なぜなら、$x=y$ の両辺を2乗すると、$x^2=y^2$が得られるからです。

* $x^2=y^2 \implies x=y$ は偽です。なぜなら、$x^2=y^2$ は $x = y$ または $x = -y$ を意味するからです。例えば、$x=2$, $y=-2$ のとき、$x^2=4$, $y^2=4$ なので、$x^2=y^2$ ですが、$x=y$ ではありません。

したがって、$x=y$ であることは、$x^2=y^2$であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。よって、「ウ」は2です。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための「エ」について考えます。

* $x, y$がともに有理数 $\implies xy$が有理数 は真です。有理数同士の積は有理数だからです。

* $xy$が有理数 $\implies x, y$がともに有理数 は偽です。反例として、$x=\sqrt{2}$, $y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ があります。$x$と$y$はともに無理数ですが、$xy=1$ は有理数です。

したがって、$xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための必要条件であるが、十分条件ではありません。よって、「エ」は1です。

3. 最終的な答え

ウ：2

エ：1