全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 200, x は整数\}$ が与えられている。 部分集合 $A = \{x | x は3の倍数\}$、$B = \{x | x は5の倍数\}$ が定義されている。 (1) $n(\overline{A} \cap B)$ を求めよ。 (2) $n(\overline{A \cup B})$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 200, x は整数\}$ が与えられている。

部分集合 $A = \{x | x は3の倍数\}$、$B = \{x | x は5の倍数\}$ が定義されている。

(1) $n(\overline{A} \cap B)$ を求めよ。

(2) $n(\overline{A \cup B})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overline{A} \cap B$ は、$A$ に属さず、$B$ に属する要素の集合を表す。

つまり、3の倍数ではなく、5の倍数である要素の個数を求める。

$n(U) = 200$

$n(A)$ は、200以下の3の倍数の個数なので、$n(A) = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66$

$n(B)$ は、200以下の5の倍数の個数なので、$n(B) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

$n(A \cap B)$ は、3の倍数かつ5の倍数であるものの個数、つまり15の倍数の個数なので、$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

$\overline{A} \cap B = B - (A \cap B)$ であるから、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 40 - 13 = 27$

(2)

$n(\overline{A \cup B})$ は、$A$ にも $B$ にも属さない要素の個数である。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 66 + 40 - 13 = 93$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 200 - 93 = 107$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap B) = 27$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 107$