与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

次に、式を整理します。$a$ について整理すると、

$a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + b^2c + bc^2$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)$ が共通因数なので、これでくくります。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

次に、括弧の中の式を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

これを並び替えて、

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$