多項式 $P(x)$ があり、$x-1$で割ると1余り、$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。 (1) $P(x)$を$x+1$で割ったときの余りを求める。 (2) $P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りを求める。 (3) $P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ があり、$x-1$で割ると1余り、$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。

(1) $P(x)$を$x+1$で割ったときの余りを求める。

(2) $P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りを求める。

(3) $P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$を$x+1$で割った余りを求める。

剰余の定理より、$P(-1)$が求める余りである。$P(x)$を$(x+1)^2$で割ったときの余りが$3x+2$であることから、$P(x) = (x+1)^2 Q(x) + 3x+2$と書ける。

ここで、$x=-1$を代入すると、$P(-1) = (-1+1)^2 Q(-1) + 3(-1)+2 = 0 - 3 + 2 = -1$。

(2) $P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割った余りを求める。

$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割った余りは、一般的に$ax+b$の形になる。

$P(x) = (x-1)(x+1) q(x) + ax + b$ とおく。

$P(1) = 1$ より、$a+b=1$。

$P(-1) = -1$ より、$-a+b = -1$。

この2式を連立して解くと、$2b = 0$ よって $b=0$。 $a=1$。

したがって、余りは$x$。

(3) $P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割った余りを求める。

$P(x) = (x-1)(x+1)^2 R(x) + ax^2+bx+c$とおく。

$P(x)$を$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余るので、$ax^2+bx+c$を$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。

つまり、$ax^2+bx+c = a(x+1)^2 + 3x + 2 = a(x^2+2x+1)+3x+2 = ax^2+(2a+3)x + a+2$

したがって、$b = 2a+3$, $c = a+2$

また、$P(1) = 1$ より、$a+b+c = 1$。

$a + 2a+3 + a+2 = 1$

$4a + 5 = 1$

$4a = -4$

$a = -1$

$b = 2a+3 = 2(-1) + 3 = 1$

$c = a+2 = -1+2 = 1$

余りは$-x^2+x+1$。

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 1

(3) -1, 1, 1