自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=0}^n 2^k {}_nC_k$ を $n$ の式で表しなさい。つまり、${}_nC_0 + 2{}_nC_1 + 2^2 {}_nC_2 + \cdots + 2^{n-1} {}_nC_{n-1} + 2^n {}_nC_n$ を計算し、$n$ の関数として表現しなさい。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=0}^n 2^k {}_nC_k$ を $n$ の式で表しなさい。つまり、${}_nC_0 + 2{}_nC_1 + 2^2 {}_nC_2 + \cdots + 2^{n-1} {}_nC_{n-1} + 2^n {}_nC_n$ を計算し、$n$ の関数として表現しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^{n-k}y^k$ を利用します。

与えられた式 $\sum_{k=0}^n 2^k {}_nC_k$ を二項定理の形に近づけます。

二項定理で $x=1$、 $y=2$ とすると、

$$(1+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k 1^{n-k}2^k = \sum_{k=0}^n {}_nC_k 2^k = {}_nC_0 + 2{}_nC_1 + 2^2 {}_nC_2 + \cdots + 2^n {}_nC_n$$

したがって、

$$\sum_{k=0}^n 2^k {}_nC_k = (1+2)^n = 3^n$$

3. 最終的な答え

$3^n$