与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (6y+1)x - (3y+1)$

次に、たすき掛けを用いて因数分解を試みます。

$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + (a+2b)x + ab$

となるような $a$ と $b$ を探します。

$a+2b = 6y+1$

$ab = -(3y+1)$

$a = -(3y+1)/b$ を $a+2b = 6y+1$ に代入します。

$-(3y+1)/b + 2b = 6y+1$

両辺に $b$ を掛けて、

$-(3y+1) + 2b^2 = (6y+1)b$

$2b^2 - (6y+1)b - (3y+1) = 0$

$b = \frac{(6y+1) \pm \sqrt{(6y+1)^2 - 4(2)(-3y-1)}}{4}$

$b = \frac{(6y+1) \pm \sqrt{36y^2 + 12y + 1 + 24y + 8}}{4}$

$b = \frac{(6y+1) \pm \sqrt{36y^2 + 36y + 9}}{4}$

$b = \frac{(6y+1) \pm \sqrt{(6y+3)^2}}{4}$

$b = \frac{(6y+1) \pm (6y+3)}{4}$

$b = \frac{(6y+1) + (6y+3)}{4} = \frac{12y+4}{4} = 3y+1$

$b = \frac{(6y+1) - (6y+3)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$b = 3y+1$ のとき、

$a = \frac{-(3y+1)}{3y+1} = -1$

$a = -1$, $b = 3y+1$ を用いて、

$2x^2 + (6y+1)x - (3y+1) = (2x-1)(x+3y+1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(x + 3y + 1)$