$\sqrt[3]{192} - \sqrt[3]{81} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ を計算しなさい。

## 問題9

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{192} - \sqrt[3]{81} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、各項を簡単にします。

$\sqrt[3]{192}$ を計算します。

$192 = 64 \times 3 = 4^3 \times 3$ なので、$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{4^3 \times 3} = 4\sqrt[3]{3}$となります。

$\sqrt[3]{81}$ を計算します。

$81 = 27 \times 3 = 3^3 \times 3$ なので、$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3 \times 3} = 3\sqrt[3]{3}$となります。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$の分母を有理化するために、分子と分母に$3^{\frac{1}{3}}$を掛けます。

$\frac{1 \times 3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^1} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

与えられた式に代入します。

$4\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

$\sqrt[3]{3}$でくくります。

$\sqrt[3]{3} (4 - 3 + \frac{1}{3}) = \sqrt[3]{3}(1+\frac{1}{3}) = \sqrt[3]{3}(\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\sqrt[3]{3}$

## 問題11

1. 問題の内容

$(\frac{1}{3})^3$, $(\frac{1}{3})^{-1.5}$, $1$, $3^2$ の大小を不等号を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

$(\frac{1}{3})^{-1.5} = (\frac{1}{3})^{-\frac{3}{2}} = (3)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} \approx 5.2$

$1 = 1$

$3^2 = 9$

大小を比較します。

$\frac{1}{27} < 1 < \sqrt{27} < 9$

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{3})^3 < 1 < (\frac{1}{3})^{-1.5} < 3^2$

## 問題12

1. 問題の内容

$(\frac{1}{8})^x = 16$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{8})^x = 16$

$(2^{-3})^x = 2^4$

$2^{-3x} = 2^4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{4}{3}$

## 問題13

1. 問題の内容

$(\frac{1}{9})^x > 27$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{9})^x > 27$

$(3^{-2})^x > 3^3$

$3^{-2x} > 3^3$

$-2x > 3$

$x < -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$x < -\frac{3}{2}$

## 問題14

1. 問題の内容

$4^{x-2^{x+1}} - 8 = 0$を解きなさい。

2. 解き方の手順

$4^{x-2^{x+1}} - 8 = 0$

$4^{x-2^{x+1}} = 8$

$(2^2)^{x-2^{x+1}} = 2^3$

$2^{2(x-2^{x+1})} = 2^3$

$2(x-2^{x+1}) = 3$

$2x - 2^{x+2} = 3$

$2x - 4 \times 2^x = 3$

$x=2$を代入すると

$2(2) - 4 \times 2^2 = 4 - 4 \times 4 = 4 - 16 = -12 \neq 3$

$x$に様々な値を代入して探すことは難しい。しかし、答えにx=2と書いてあるので、x=2が答えだと仮定して進めます。

問題文に誤りがある可能性が高いです。

$4^{x-2^{x+1}} = 8$

両辺の対数をとります。

$\log_2{4^{x-2^{x+1}}} = \log_2{8}$

$(x-2^{x+1}) \log_2{4} = \log_2{2^3}$

$2(x-2^{x+1}) = 3$

$2x - 2^{x+2} = 3$

$2x - 4 \times 2^x = 3$

これは解析的に解けない方程式なので、与えられた答えが正しいか確認します。

$x=2$を代入すると

$4 - 4 \times 4 = -12 \neq 3$

答えに$x=2$と書かれているので、問題を修正すると

$4^{x-2}-8 = 0$

$4^{x-2} = 8$

$2^{2(x-2)} = 2^3$

$2x - 4 = 3$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

しかし、問題は$4^{x-2^{x+1}}-8 = 0$なので、正しく解くことはできません。

3. 最終的な答え

与えられた問題では解が存在しない、もしくは解析的に解くことができない。ただし、もし問題が$4^{x-2}-8 = 0$であれば答えは$x = \frac{7}{2}$となる。

問題文に誤りがあると考え、$x=2$という答えは誤り。

## 問題15

1. 問題の内容

$(\frac{1}{9})^x - \frac{1}{3^x} - 6 < 0$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{9})^x - \frac{1}{3^x} - 6 < 0$

$(3^{-2})^x - (3^{-1})^x - 6 < 0$

$3^{-2x} - 3^{-x} - 6 < 0$

$(3^{-x})^2 - 3^{-x} - 6 < 0$

$t = 3^{-x}$ とおくと

$t^2 - t - 6 < 0$

$(t - 3)(t + 2) < 0$

$-2 < t < 3$

$-2 < 3^{-x} < 3$

$3^{-x} > -2$ は常に成り立つので、$3^{-x} < 3$ を解きます。

$3^{-x} < 3^1$

$-x < 1$

$x > -1$

3. 最終的な答え

$x > -1$